ХКОИС
ХРРЦ
Регистрация
Забыли пароль?
Логин:
Пароль:
Поиск
Справочные сведения о системе образования Хабаровского края
Новости образования Хабаровского края
Информация и документы из министерства образования и науки Хабаровского края
Хабаровская краевая заочная физико-математическая школа
РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
Подготовка к олимпиадам по информатике
Подготовка к олимпиадам по информатикеТеоретические материалы > Натуральные, целые, рациональные числа и операции над ними. Действительные числа. Простые и составные числа
Натуральные, целые, рациональные числа и операции над ними. Действительные числа. Простые и составные числа
 1. Натуральные числа
Понятие числа развивалось на протяжении многих столетий. Сначала в процессе счета появились натуральные числа.
 Определение. Натуральными числами называются числа, полученные при счете. Обозначение:
.
 На множестве натуральных чисел можно ввести операции сложения и умножения. Это означает, что результатом введенной операции будет также натуральное число. Обозначения:
 , где a – первое слагаемое, b – второе слагаемое, c – сумма,
 , где a– первый сомножитель, b – второй сомножитель, c – произведение.     
Замечание. В математике эти операции вводят аксиоматически, то есть определяется система аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения.
2. Целые числа
Далее, в процессе развития понятия числа появилось число ноль и отрицательные числа, что дополнило ряд натуральных чисел.
Определение. Целыми числами называются натуральные числа, им противоположные и ноль. Обозначение:
.
Определение. Числом, противоположным числу a называется число
.
Замечание. Нужно отметить, что в двух последних определениях дважды встречается понятие противоположного числа, определяемое одно через другое. Это некорректно с точки зрения математики. Как мы отмечали выше, корректное определение дается с помощью системы аксиом, на которых мы не останавливаемся, чтобы не усложнять содержание.
В результате появления отрицательных чисел и нуля стало возможным введение операции вычитания, которая, если строго ее определить, есть операция сложения, в которой второе слагаемое заменяется противоположным по знаку: .
Результатом введенной операции также будет целое число (даже если a и b– натуральные числа). Обозначения:
, где a – уменьшаемое,b – вычитаемое, c – разность.
3. Рациональные числа
В результате практических потребностей измерения величин появилось понятие дроби, в связи с этим появилось понятие рационального числа.
Определение. Рациональными числами называются числа вида , где p – целое число, а q —  натуральное число. Обозначение:
.
Такое ограничение на знаменатель исключает появление нуля в знаменателе и многозначности в определении числа. В результате определения рационального числа появилось понятие обратного к натуральному числу a числа.
Определение. Число  называется обратным к числу .
Определив понятие рационального числа в виде дроби, можно ввести операцию деления на множестве рациональных чисел, как умножения на обратное число:
.
Результатом введенной операции будет рациональное число (даже если a и b– натуральные числа). Обозначения:
, где a– делимое, b – делитель, c – частное.
4. Действительные числа
Кроме четырех арифметических операций существуют еще ряд операций – возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, потенцирование и так далее. Не останавливаясь на определении этих операций, отметим только, что их результатом может быть число, не являющееся рациональным. Например, можно показать, что   нельзя представить в виде дроби вида , где p – целое число, а q —  натуральное число. Для такого числа можно написать приближенное значение в виде дроби с некоторой  степенью точности. Такие числа носят название иррациональных. Доказано, что между двумя любыми сколь угодно близкими по значению рациональными числами существует бесконечное число иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел (обозначается множество действительных чисел через R). Имеет место следующее соответствие между множествами чисел: .
5. Простые и составные числа
Натуральные числа можно разбить на два класса – простые и составные числа.
Определение. Натуральное число n называется простым числом, если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого этого числа.
Существуют таблицы простых чисел. Запишем несколько первых их них: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…
Определение. Натуральное число n называется составным числом, если его можно представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых больше единицы.
Самым маленьким составным числом является число .  Как же узнать, будет ли данное число составным или простым? Как разложить составное число на простые множители? Укажем некоторые известные правила.
I. Натуральное число nявляется составным числом, если оно делится на некоторое меньшее его число, отличное от единицы.
В школьном курсе математики предлагается следующий алгоритм разложения числа на простые множители:
Шаг.1. Записать данное число. Справа от него провести вертикальную линию.
Шаг 2. Найти наименьший, отличный от единицы простой делитель b  числа и записать его справа от заданного числа. Записать под заданным числом частное c от деления на b.
Шаг 3. Если c=1, то получено разложение на простые множители. Если , перейти к шагу 2.
Пример. Разложить число 660 на простые множители.
Получим , так как последовательно имеем:
         
II. Каждое составное число n имеет делитель больший единицы и такой, что его квадрат не превосходит n.
Поэтому делители составного числа n следует искать среди чисел, квадраты которых не больше, чем n что значительно сокращает количество делений.
Пример. Выяснить, является число 157 простым или составным.
Так как , то простые делители следует искать среди чисел 2, 3, 5, 7, 11. Проверкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел не является делителем числа 157, значит, это число является простым.
III. Метод Ферма разложения числа на множители
Этот метод был предложен французским математиком П.Ферма и основан на следующем факте: если число n можно представить в виде разности квадратов, то разложение числа n на множители получено, так как .
Будем последовательно строить числа вида  и проверять, являются ли они квадратом некоторого числа. Можно упростить вычисления, получив следующее число  из предыдущего  добавлением числа 2a+1. Это следует из тождества
.
Пример. Разложить число 1363 на множители методом Ферма.
Так как , то начальное значение a равно 37 и первый член последовательности равен . Число 6 не является полным квадратом, поэтому получим число a+1 путем прибавления к предыдущему значению числа . Получим . Поэтому имеем:
.
Ответ. .
 
 
Copyright © 2005–2017 ХабЦНИТ ТОГУ Отправить письмо
Создание сайтов в Хабаровске
купить черные контактные линзы во весь глаз фото достопримечательностей